números complexos exercícios e teoria

Artigo sobre números complexos com exercícios e teoria: propriedades do conjugado, operações, conjugado e potência de um número complexo.

PROPRIEDADES

Definição: O conjugado de um complexo 
Ex: 

Propriedade 1: A soma de 2 complexos conjugados é sempre um número real.

Propriedade 2: O produto de 2 complexos conjugados é sempre um número positivo.

Propriedade 3: O conjugado do conjugado , de um complexo, é o próprio complexo.

  
Propriedade 4: O conjugado da soma, é igual a soma dos conjugados.

Propriedade 5: O conjugado do produto, é igual ao produto dos conjugados.

Adição e subtração

A forma algébrica a + bi admite todas as operações, assim como em R, substituindo i² por -1, sempre que necessário. 

Dado os números z1 = 3 – i e z2 = -5 + 4i. Somando os dois teremos:

z1 + z2 = (3– i) + (-5 + 4i)
z1 + z2 = 3- i – 5 + 4i
z1 + z2 = 3 – 5 – i + 4i
z1 + z2 = - 2 + 3i

Dado os números z1 =(5 + 8i) e z2= (1 + 2i). Subtraindo os dois teremos:

z1 - z2 =  (5 – 8i) - (1 + 2i)

z1 - z2 = 5 - 1 - 8i - 2i

z1 - z2 = 4 + 6i

Podemos concluir que para subtrair ou adicionar números complexos devemos operar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. 

Multiplicação de números complexos

Os números complexos são multiplicados com base na propriedade distributiva, sempre lembrando que um numeral complexo é formado por uma parte real e uma imaginária.

Como sabemos, i² = – 1.

Logo,



Agrupando os termos semelhantes, obtemos:

Exemplos:

    

a) (4 + 3i) * (2 + 6i)                                                       b) (1+2i)∙(2-3i) = [1∙2 - 2∙(-3)] + [1∙(-3) + 2∙2]i
                                                                                      (1+2i)∙(2-3i) = (2+6) + (-3+4)i = 8 + i

8 + 24i + 6i + 18i² (lembrando que i² = – 1)
8 + 24i + 6i + 18 * (–1)
8 + 24i + 6i – 18
–10 + 30i

Divisão de números Complexos

Para realizar a divisão de dois números complexos precisamos introduzir o conceito de conjugado de um número complexo. Seja z = a + bi, o conjugado de z é z = a - bi. Agora podemos definir a operação de divisão para números complexos.

Agora vejamos este exemplo de divisão:

Para começar vamos multiplicar o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor como explicado acima:

  

Para realizar o produto no denominador vamos recorrer aos produtos notáveis, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos, onde temos que:

Continuando o processo da divisão temos:

Note que inicialmente tínhamos o divisor imaginário 2 - 7i e no final temos o divisor real 53. É por isto que utilizamos o conjugado como expediente para realizar a divisão, assim conseguimos transformar um divisor imaginário em um divisor real, o que facilita muito as coisas, como pudemos ver na passagem do penúltimo para o último passo.

vamos ver outro exemplo:

Conjugado de um Número Complexo

Chamamos de conjugado do número complexo

z = a + bi, com a e b reais, o número complexo

 = a – bi.

Exemplos

1^o) z₁ = 2 – 3i   = 2 + 3i

2^o) z₂ = –1 – 4i   = –1 + 4i

3^o) z₃ = –3i   = 3i

4^o) z₄ = 2   = 2

Propriedade

O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real.

Demonstração

Sendo z = a + bi e  = a – bi (a  R e b  R) temos:

Como a e b são reais, z ·   R.

Potência de números complexos

 O cálculo de potências de números reais com expoente natural é realizado através de uma multiplicação em que todos os fatores são iguais à base e em quantidade igual ao expoente natural.

Veja que a potência abaixo é o resultado de uma multiplicação com 3 fatores iguais a 5:



Esta outra potência é resultado de uma multiplicação contendo 4 fatores iguais a 7:



No caso de potências de números complexos com expoente natural o procedimento é o mesmo:

Sabemos que:

Observe que na potência de i com expoente 4 os valores começam a se repetir e o mesmo acontece nas potências com expoentes 8 e 12, caracterizando um padrão de repetição no cálculo dessas potências. Como os valores se repetem a cada quatro potências calculadas, ou seja, de 4 em 4, podemos obter o valor de qualquer potência de i utilizando o seguinte método:

Por exemplo, se desejamos calcular o valor de i¹²⁵.

Faremos a divisão de 125 por 4:

Calcular o valor de i¹²⁵ é o mesmo que calcular o valor de i elevado ao resto da divisão de 125 por 4, ou seja, é o mesmo que calcular i¹.

Assim,

i¹²⁵ = i¹ = i

 exemplo 2:

Aplicando as propriedades da potência, calcule (2 – 2i)6.

Podemos fatorar o expoente da seguinte forma:

[(2 – 2i)2]3 =
[22 – 2 * 2 * (2i) + (2i)2]3
[4 – 8i + 4i2]3 =
[4 – 8i + 4 * (–1)]3 =
[4 – 8i – 4]3 =
[– 8i]3 =
– 512 * i3 =
– 512 * (– i) =
+ 512i
exemplo 3:

Calcular  i³⁵⁹

 

Exercícios números complexos

1)  (PUC-MG) Qualo é o quociente de (8 + i)/(2 - i) é igual a

  a) 1 + 2i                  b) 2 + i                      c) 2 + 2i                  d) 2 + 3i               e) 3 + 2i

2) Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ , calcule Im(z).w + Im(w).z .

a) -3 + 18i                 b) -3 + 10i                c) - 5 + 18i                d) - 5 + 10 i           e) -3 + 12i

3) (Mackenzie-SP) O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é:
a) i²                         b) i                           c) i³                         d) i² + 1                 e) i +1

4) (UCSal) Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real, a deve ser:
a) 2/3                       b) 4/3                       c) 3/2                      d) 3/4                    e) 3/5

5) (FESP/UPE) - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
a) 16                     b) 161                      c) 32                      d) 32i                    e) 32 + 16i

6) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0 , então calcule o valor de a.
a) 16i                    b) 32i                       c) 40i                  d) 48i                         e) 60i

7) ( UFRGS) (1 + i)15 é igual a:
a) 64(1 + i)             b) 128(1 – i)             c) 128(–1 – i)           d) 256(–1 + i)       e) 256(1 + i)

8) Dados os números  complexos z1= a + bi e z2 = 1 - 2i. Como z1.z2 = 15, então z1 + z2 é 

igual a:

a) 8                            b) 4                        c) 4+4i                          d) 6+i                   e) 8 - 2i

9) (UCMG-MG) O número complexo z, tal que 5z +  = 12 + 16i, é igual a:

a) – 2 + 2i                   b) 2 + 4i                  c) 2 – 3i                        d) 3 + i                    e) 1 + 2i

10) (FCC-BA) O número complexo 1 – i é raiz da equação x² + kx + t = 0 (k, t  R ) se, e somente se:

 a) k = t = – 2            b) k = 2 e t = – 2            c) k = t = 2              d) k + t = 1                 e) k = –2 e t = 2

11) (UFES) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é

a)-3i                       b)1-i                   c) 5/2 + (5/2)i                d) 5/2 - (3/2)i             e) 1/2 - (3/2)i

12) (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)⁴ é um número real?
a) 1                        b) 2                        c) 3                       d) 4                      e) 5

13) (UEFS) Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:

a) 1 e 10                 b) 5 e 10                 c) 7 e 9                        d) 5 e 9               e) 0 e -9

14) (UEFS) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:

a) -3i                  b) 1 – i                c) 5/2 + (5/2)i                       d) 5/2 - (3/2)i                  e) ½ - (3/2)i

15) (Unitau) O módulo de z=1/i36 é:

a) 3.                        b) 1.                  c) 2             d) 1/36.           e) 36.

16) O número complexo 2 + i é raiz do polinômio P(x) = x³ + ax² + bx +15, em que a e b são números reais. Pede-se determinar os valores de a e b e, em seguida, calcular P(i) / (3+i) na forma c + di , sendo c e d números reais.

Solução:

Ora, se x = 2 + i é raiz de P(x), então:
(2 + i)³ + a(2 + i)² + b(2 + i) + 15 = 0

Desenvolvendo, vem:
2³ + 3.2².i + 3.2.i² + i³ + a(2² + 2.2.i + i²) + b(2 + i) + 15 = 0
8 + 12i - 6 - i + a(4 + 4i -1) + 2b + bi + 15 = 0
8 + 12i - 6 - i + 4 a + 4ai - a + 2b + bi + 15 = 0

Simplificando e ordenando, vem:
(8 - 6 + 4 a - a + 2b + 15) + (12 - 1 + 4 a + b) i = 0
(17 + 3 a + 2b) + (11 + 4 a + b) i = 0 + 0i

Daí, vem:
17 + 3 a + 2b = 0
11 + 4 a +b = 0

Ou,
3 a + 2b = - 17
4 a + b = - 11

Para resolver o sistema de equações acima, multiplicaremos a primeira equação por 4 e a segunda por - 3:
Teremos:
12 a + 8b = - 68
-12 a - 3b = 33

Somando membro a membro - para eliminar a incógnita a - vem:
5b = - 35, de onde conclui-se b = -7.

Portanto, como 4 a + b = - 11, vem, substituindo: 4 a +(-7) = -11, de onde conclui-se:
a = - 1
Logo, a = -1 e b = - 7, responde à primeira parte do exercício.

Portanto, substituindo os valores de a e de b encontrados, o polinômio dado é igual a:
P(x) = x³ - x² - 7x + 15
Falta calcular P(i) / (3+i).
P(i) = i³ - (i)² - 7(i) + 15 = -i + 1 -7i + 15 = 16 - 8i

Portanto,