Equação geral e reduzida da circunferência

artigo sobre circunferência, equação reduzida e geral da circunferência, Posições relativas de uma reta e uma circunferência, propriedades das secantes e tangentes e Posições relativas entre duas circunferências e definição de círculo.

A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.



A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

Equação reduzida da circunferência

Uma circunferência é determinada quando conhecemos a posição do seu centro e o valor do seu raio. Imaginando no plano cartesiano uma circunferência de centro no ponto C = (a, b) e com raio R, vamos representar por P = (x, y) um ponto qualquer que pertence a essa circunferência. Que propriedade tem o ponto P?

Se P pertence à circunferência, sua distância até o centro é igual ao raio.

Como a distância do ponto C = (a, b) ao ponto P = (x, y) é igual a R, usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:

(x - a)2 + (y - b)2 = R

Elevando ao quadrado os dois membros, a expressão obtida é a equação da circunferência de centro (a, b) e raio R.

Portanto, (x - a)² + (y - b)² = r²  é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência seráx²  + y²  = r²  .

Exemplo:

Seja uma circunferência cuja equação é:

(x - 2) ² + (y - 3)² = 100

Verificar se a circunferência passa pela origem ,quais as coordenadas do centro e quanto vale o raio:

Pela expressão temos que: R = 10 e C(2,3)

Fazendo x=0 e y=0, temos que: (-2) ² + (-3) ²  = 13

Como 13 é diferente de 100, logo a circunferência não passa pela origem.  

Equação geral

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:



Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Aplicação

Determine as equações da circunferência de centro (1, 5) e raio 2.

Solução:

Sendo a = 1, b = 5 e r = 2, então, temos:

Sendo a = 2, b = 4 e r = 3, então, temos:

(x – a)² + (y – b)² = r2 (x – 1)² + (y – 5)² = 22

(x – 1)² + (y – 5)² = 4 (equação reduzida)

(x – 1)² + (y – 5)² = 4

x² – 2x + 1 + y² – 10y + 25 – 4 = 0

x² + y² – 2x – 10y + 22 = 0 (equação geral) 

Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Tangente – é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato.



Secante – é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos, se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contem uma corda.

Propriedades das secantes e tangentes

1. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.
   
   
2. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.
   
   
   
   
   
3. Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.
   
   
   
   
   
4. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Posições relativas entre duas circunferências 

Não possuem pontos em comum

Externas D > r1 + r2

Internas D < r1 – r2

Possuem um ponto em comum

Tangentes: as circunferências possuem um ponto em comum.

Tangentes internas D = r1 – r2

Tangentes externas
D = r1 + r2

Possuem dois pontos em comum

Secante: possuem dois pontos em comum.

r1 – r2 < D < r1 + r2

Circunferências concêntricas

São circunferências que possuem o mesmo centro, não existindo distância entre eles.
D = 0

Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo

Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.

Raio, corda e diâmetro

Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.

Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.

Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.